La houle de Fournier-Reeves
Fournier et Reeves se sont basés sur les équations utilisées par Gerstner :
Mais ces équations ne sont valides que pour une profondeur infinie. De plus, la longueur d'onde dépend de la profondeur.
Pour prendre en compte les variations de la profondeur le long du trajet parcouru par la vague, Fournier et Reeves ont modifié le calcul de Φ en prenant en compte dans le calcul la variation de K (et donc de la longueur d'onde) depuis le large selon cette formule :
Pour utiliser la formule précédente, il faut la discrétiser (par exemple par la méthode de Riemann). On obtient alors la formule suivante pour Φ :
(on choisit la valeur de n pour que le rapport x0/n soit constant)
Cette modification permet de garder le caractère continu de la surface de la mer malgré les changements de profondeur le long du trajet.
Maintenant, il faut connaitre la valeur de K en tout point, et non juste la valeur de K∞, que l'on connait par la formule K∞ = K tanh (Kh). Or, lorsque h tend vers 0, tanh(Kh) tend vers Kh, d'où K∞ = K²h, et lorsque h tend vers ∞, tanh(Kh) tend vers 1, donc K∞ = K.
On peut alors proposer une valeur approchée de K en tout point en fonction de la profondeur :
ce qui donne pour Φ :
La deuxième partie du modèle de Fournier-Reeves est de simplifier le modèle de Biesel pour les faibles profondeurs, lorsque le mouvement des particules devient ellipsoïdal et n'est plus circulaire.
Ils ajoutent 3 coefficients pour gérer les effets de la profondeur sur les trois longueurs suivantes :
- K0 pour la pente du grand axe
- Kz pour la longueur du petit axe de l'ellipse
- Kx pour la longueur du grand axe de l'ellipse
Ces trois paramètres varient entre 0 et 1.
Au final, le modèle de Fournier-Reeves au complet donne :
où α est la pente du sol et γ la pente de l'ellipse.
Inconviénents de ce modèle :
- Les cas de pente négative ne sont pas exploités.
- Les trois paramètres K0, Kz et Kx ne sont pas très pratiques à utiliser, car ils ne correspondent pas à des paramètres intuitifs. De plus, selon le type de sol, des paramètres choisis idéalement pour une certaine zone pourraient ne plus être idéaux sur une zone voisine.
Mais ces équations ne sont valides que pour une profondeur infinie. De plus, la longueur d'onde dépend de la profondeur.
Pour prendre en compte les variations de la profondeur le long du trajet parcouru par la vague, Fournier et Reeves ont modifié le calcul de Φ en prenant en compte dans le calcul la variation de K (et donc de la longueur d'onde) depuis le large selon cette formule :
Pour utiliser la formule précédente, il faut la discrétiser (par exemple par la méthode de Riemann). On obtient alors la formule suivante pour Φ :
(on choisit la valeur de n pour que le rapport x0/n soit constant)
Cette modification permet de garder le caractère continu de la surface de la mer malgré les changements de profondeur le long du trajet.
Maintenant, il faut connaitre la valeur de K en tout point, et non juste la valeur de K∞, que l'on connait par la formule K∞ = K tanh (Kh). Or, lorsque h tend vers 0, tanh(Kh) tend vers Kh, d'où K∞ = K²h, et lorsque h tend vers ∞, tanh(Kh) tend vers 1, donc K∞ = K.
On peut alors proposer une valeur approchée de K en tout point en fonction de la profondeur :
ce qui donne pour Φ :
La deuxième partie du modèle de Fournier-Reeves est de simplifier le modèle de Biesel pour les faibles profondeurs, lorsque le mouvement des particules devient ellipsoïdal et n'est plus circulaire.
Ils ajoutent 3 coefficients pour gérer les effets de la profondeur sur les trois longueurs suivantes :
- K0 pour la pente du grand axe
- Kz pour la longueur du petit axe de l'ellipse
- Kx pour la longueur du grand axe de l'ellipse
Ces trois paramètres varient entre 0 et 1.
Au final, le modèle de Fournier-Reeves au complet donne :
où α est la pente du sol et γ la pente de l'ellipse.
Inconviénents de ce modèle :
- Les cas de pente négative ne sont pas exploités.
- Les trois paramètres K0, Kz et Kx ne sont pas très pratiques à utiliser, car ils ne correspondent pas à des paramètres intuitifs. De plus, selon le type de sol, des paramètres choisis idéalement pour une certaine zone pourraient ne plus être idéaux sur une zone voisine.